En el diccionario el vocablo "парень" se traduce como "chico, muchacho, mozo, chaval". Hay diferencia en su uso? O algunas otras variantes en la lengua hablada?

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Esas palabras se ultilizan en diferentes contextos y, como tú has mencionado, algunas son de mayor exclusividad de alguna bariante de la lengua.
"Chico" es universal. Ejemplo: "El chico que vi ayer se parecía a mi tío"
"Muchacho" se refiere más a un jóven (chico da una imagen de muy jovencito). Muchacho es usado para alguien que ya superó "lo infantil". Ejemplo: "Mi hijo ya es un muchacho", "El muchacho que vino ayer a mi casa es hijo de María"
"Mozo" es mayormente utilizado en la frase "buen mozo" para alguien guapo (de manera formal). Ejemplo: "Hija, te felicito por tu nuevo novio, es muy buen mozo." ((Desconzco si tiene un uso más común en algun otro pais))
"Chaval" es una palabra que solo he escichado en la variedad castellana del español (España). Tiene el mismo uso que "chico", sin embargo, esta palabra siempre tiene una connotación como de alguien menor. Ejemplo: "¿Está bebiendo cerveza? pero si solo es una chaval de 13 años."